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낙타 17마리를 나누어 가져라.
조회 32 2021.09.13 신고


낙타를 어떻게 나눠 가지면 될까?



이 문제는 가장 오래된 수학책으로 알려진 “린드 파피루스”라는 책에 나온 문제이다. 고대 이집트 인들은 물건의 균등한 분배를 위해 분수를 사용했는데 특히 분수를 단위 분수(분자가 1인 분수)의 합으로 나타내었다.

 

예를 들어

3/4 = 1/2 + 1/4

2/5 = 1/3 + 1/15

3/8= 1/6 + 1/8 + 1/12

과 같이 나타내는 것이다.

 

그런데 고대 이집트인들은 어떤 물건을 똑같이 나누기 위해서 왜 단위 분수로 나타내었을까?


 




예를 들어 3개의 사과를 4명이 똑같이 나눠야 하는 상황인 3/4을 생각해보자. 사과 3개를 4명에게 나누어 주려면 사과를 한 사람당 하나씩 나눠 줄 수도 없고 어려운 상황이다.



이때 먼저 사과 2개를 절반으로 쪼개 4명이 각각 한 조각씩 나눠 갖고, 나머지 사과 한 개는 4등분해 한조각씩 가지면 된다.



이렇게 단위 분수의 합을 이용하면 물건을 균등하게 나눌 수 있다. 

 





다시 처음 문제로 돌아와

이 문제도 단위 분수의 합으로 나타내면 해결할 수 있는데, 

문제는 17이 소수로 1과 17말고는 나누어 떨어지는 수가 없다는 것이다. 

 

“린드 파피루스”에서 이 문제에 대한 해답은 이렇게 제시되었다.

 

삼형제가 낙타를 놓고 싸움을 계속할 때 지나가던 노파가 자기가 타고 있던 낙타 한 마리를 보태주었다. 낙타가 18마리가 되자 삼형제는 18마리의 1/2인 9마리, 1/3인 6마리, 1/9인 2마리를 각각 가질 수 있었다. 게다가 9마리, 6마리, 2마리의 합은 17마리이므로 노파도 자기가 타고 있던 낙타를 다시 가져갈 수 있었다.


이를 단위 분수의 합으로 나타내 보면, 17/18 = 1/2 + 1/3 + 1/9인 것이다.





도전문제


마주 보는 두 수의 합이 모두 같도록 빈칸을 서로 다른 단위 분수로 채워 보자.



먼저 주어진 두 분수 1/9과 1/18의 합을 구하면 1/9 + 1/18 = 1/6이다.

따라서 합이 1/6이 되는 두 단위 분수의 여러 쌍을 구하면 된다.


먼저 1/6의 분모와 분자에 같은 수를 곱하여 1/6과 같은 분수를 만든 후, 두 분수의 합으로 쪼개면 쉽게 찾을 수 있다.


1/6 = 2/12 = 3/18 = 4/24 = 5/30 = 6/36 = 7/42…


2/12 = 1/12 + 1/12

→ 단위 분수의 합은 맞지만 서로 다른 단위 분수는 아니므로 제외한다.


3/18 = 1/18 + 2/18 = 1/18 + 1/9

4/24 = 1/24 + 3/24 = 1/24 + 1/8

5/30 = 1/30 + 4/30

→ 이 경우는 4/30가 약분해도 단위 분수가 되지 않으므로 제외하고 약분이 되어 단위 분수를 만들 수 있는 경우로 분자를 바꾸어 준다.


즉 5/30 = 2/30 + 3/30 = 1/15+ 1/10

7/42 = 1/42 + 6/42 = 1/42 + 1/7


이렇게 찾은 분수를 빈칸에 넣으면 완성된다. 

 

정답



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