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어제 떨어뜨린 공, 오늘은 멈추었을까?
조회 883 2020.11.09 신고


쓩~! 떨어뜨린 공은 바닥에 부딪히고 다시 튀어 오른다.
하지만 처음의 높이만큼은 도달하지 못하고 다시 떨어지고 튀어 오르기를 반복한다. 그리고 어느 순간 우리 시야에서는 그것이 정지된 듯 보이는데...

 

01


 

 

“이 공은 정말 정지해 있을까?”

 

 

 

 

먼저, 수학적인 모델로 살펴보자.

 

지면으로부터 10m 높이에 있는 공을 그대로 떨어뜨렸을 때, 이 공이 지면에 부딪힌 후 처음 높이의 4/5까지 다시 튀어 오른다고 하면, 이 공이 움직이는 거리는 아래와 같다. (이 경우, 공이 다른 외부적인 영향은 받지 않는 것으로 가정한다.)

 

01

 

h0=10
h1=(4/5)·h0=(4/5)·10 ≒8m
h2=(4/5)·h1=(4/5)2·10 ≒6.4m
h3=(4/5)·h2=(4/5)3·10 ≒5.12m
h4=(4/5)·h3=(4/5)4·10 ≒4.096m
h5, h6, h7, … 등과 같이 미세하게나마 반복해서 튀어 오르는 과정이 무한히 반복되게 된다.

 

따라서 적당한 시간이 흘러 10억 번째 튀어 오르는 공의 위치
h10억=(4/5)·h10억-1=(4/5)10억·10 역시 극초미세한 값이기는 하나 0은 아니다.

 

 

 

 02

 


 

언뜻 생각하기에는 이 공은 멈춤 없이 무한히 반복되는 과정이기에, 오늘도 내일도 계속해서 운동할 것 같지만 실제는 그렇지 않다.

 

 

 

 

 

이 공이 움직인 거리는?

극한의 개념을 적용한 등비급수의 성질을 이용하면 단 몇 줄의 계산으로 구할 수 있다.


등비수령

 


공의 움직인 거리의 총합을 H라고 하면,

 

H = h0+ 2 ( h1+ h2+ h3+ h4+ … )
      = h0+ 2 { (4/5)·h0+ (4/5)2·h0+ (4/5)2·h0+ … } = 9h0

 

처음 공의 높이가 h0=10m이므로 공이 움직인 거리의 총합 H=90m가 된다.

 

 

 

이 공이 움직인 시간은?

 

공이 바닥에 떨어질 때까지의 시간은 지면으로부터의 높이에 비례하므로, 이 역시 극한의 개념을 적용한 등비급수의 성질을 이용하여 계산할 수 있다.

 

공이 바닥에 떨어지는 시간을 t0, t1, t2, … 라고 할 때, 이 공이 움직인 시간의 총합을 T라고 하면,

 

T = t0+ 2 ( t1+ t2+ t3+ t4+ … )
      = t0+ 2 { (4/5)·t0+ (4/5)2·t0+ (4/5)2·t0+ … } = 9t0


따라서 지면으로부터 10m 높이에서 공이 바닥에 떨어지는 시간 t0≒1.5(초)라고 가정 한다면, 이 공이 움직이는 시간의 총합은 약 13.5초 수준이다. 즉, 수학적인 모델 상황에서 공이 무한히 반복해서 튀어 오르기는 하지만 그 시간은 13.5초 수준에 불과하다.

 

 

 

그렇다면, 현실적인 상황에서는 어떠할까?

 

자유낙하 하는 공은 바닥에 충돌하는 순간 공이 가지고 있는 에너지가 공을 변형시키고 이 변형이 복원되면서 다시 튀어 오르게 된다. 그런데 한 번 튀어 오를 때마다 높이가 4/5 만큼 줄어든다는 것은 이 공이 갖게 되는 에너지도 바닥에 충돌할 때마다 1/5 만큼씩 감소한다는 뜻이다. 이때 공이 잃어버리는 에너지는 보통 공의 탄성에너지, 소리, 공의 온도 등으로 전환된다.

 

따라서 공이 바닥에 부딪힐 때마다 갖게 되는 에너지를 E0, E1, E2, E3, … 라고 하면,
E1=(4/5)·E0=(4/5)·E0
E2=(4/5)·h1=(4/5)2·E0
E3=(4/5)·h2=(4/5)3·E0
E4=(4/5)·h3=(4/5)4·E0
와 같이 점점 0에 가까워지게 되는데, 어느 순간 공이 잃어버리는 에너지의 크기가 물질을 구성하는 원자의 크기와 비슷하게 되는 상황에서 이 공의 운동은 멈추게 된다. 결국, 현실 속에서는 수학적인 모델의 상황에서처럼 공이 무한히 반복해서 튀어 오를 수도 없게 된다. ■

 

 

 

 

이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치한 PC에서 작동이 가능하다.


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댓글 2개
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이 공은 정지합니다. 초진동상태 그런거 아니구요. 사실 이건 그리스 시대의 학자들이 빠진 논리의 모순 입니다. 제논의 역설이 이런 논리의 모순을 설명하기 위해 등장했죠. 혹시 보시는 분들이 잘못된 수학 지식을 배우지 않기를 바랍니다. 설명하신 무한급수만 보시면, 공이 영원히 이전 거리의 1/2만큼 움직인다는 건 잘못된 논거라는거 알 수 있습니다. 무한히 잘라내어도 그 합이 유한한 값이 나오는게 무한 급수 입니다. 말씀하신 예시도 무한급수를 통해서 확정적으로 정지하는 시간이 나옵니다. 만약 이 글의 논리가 맞다면, 같은 논리로 우리가 이동을 할 때, 영원히 원하는 목적지에 도달을 못해야 합니다.

2020.11.13

정말 재미있는 실험입니다. 과연 멈추었을까?라는 질문에 네, 아니오의 답이 나올 수 있는데 그럴수도 있고 아닐 수 도 있는 그런 상태를 할 수 있다는 것은 정말 많은 생각을 하게 됩니다. 고민을 할 수 있도록 하는 문제들이 우리에게 더 좋은 동기부여를 하게 되는 거 같습니다.

2020.11.12
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