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구슬 속 숫자의 규칙을 찾아라
조회 286 2020.12.21 신고



 

먼저, 구슬 속 숫자들은 이웃하는 두 수의 차를 아래 구슬에 적어서 모두 0이 될 때 가지 반복한 것이다. 같은 줄의 구슬이 한 개의 끈으로 연결되어 있다면, 가장 오른쪽 구슬은 가장 왼쪽 구슬과 이웃한다고 할 수 있다. 

이것은 디피 게임 Diffy Game 이라고도 불리는데, Difference에서 파생된 단어로, 두 수의 차에 관한 게임이다. 모든 수가 0으로 끝날 때까지 위와 같은 뺄셈을 반복한 횟수를 ‘디피의 길이’라고 하며, 위 문제의 경우 디피의 길이는 3이 된다. 즉, 우리는 디피의 길이가 3인 다른 경우의 수를 찾아야 한다. 

이 문제를 해결하기 위해서 디피의 길이가 1인 경우부터 생각해 보자. 구슬 안에 들어갈 수를 a라고 하면, 이웃하는 두 수의 차가 0이 되어야 하므로 이웃하는 두 수가 모두 같아야 함을 알 수 있다.




 




디피의 길이가 2인 경우를 생각해 보자.위에서 구슬의 숫자가 모두 같으면 0 이 됨을 알았으므로, 두 번째 줄의 구슬의 숫자는 모두 같아야 한다. 따라서 만약 첫 번째 구슬의 숫자를 a라고 하면, 두 번째 구슬은 b, 세 번째 구슬은 다시 a가 되어야 함을 알 수 있다.





 


임의의 숫자를 대입해 확인해 보자.


 


질문으로 돌아가, 디피의 길이가 3인 경우를 생각해 보자.위에서 살펴본 규칙에 따라 맨 아랫줄의 숫자부터 생각해 보면, 세 번째 줄의 구슬의 숫자는 모두 같아야 한다. 

세 번째 줄의 구슬의 숫자를 a라 하면, 두 번째 구슬의 숫자는 이웃하는 두 수의 차가 a 가 나와야 하므로 a-0 이거나 2a-a 인 경우이다. 

따라서 두 번째 줄의 숫자는



가 될 수 있다.마지막으로 첫 번째 줄의 숫자를 고려하면, 이웃하는 두 수는 (a+b)-b, (a+b)-(a+b), (2a+b)-a의 경우를 생각할 수 있다. 따라서 첫 번째 줄의 구슬에 들어갈 숫자는  



이 된다.





 이러한 규칙에 임의의 숫자를 확인해 보자. a=2, b=3을 대입해 보면 다음과 같다.





 


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댓글 1개
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단순한 거 같으면서도 서로간의 연결되는 구조를 잘 알아야 하는 문제네요. 우리가 잘 알고 있을 거 같지만 실상 해보면 쉽지는 않은 이런 문제도 너무 좋네요.

2020.12.23
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