메인메뉴 바로가기
본문바로가기

과학이야기 재미있고 다양한 과학이야기를 읽어보세요

상상 속의 4차원 공간 도형, 클라인 병
조회 722 2020.12.23 신고

종이를 접는 방법이 있다고 모두 접을 수 있는 것은 아니다. 3차원 현실에서는 그것을 용납할 수 없는 길이 있기 때문이다. 다음은 ‘요술 항아리’라고도 부르는 「클라인 병(Klein Bottle)」을 접는 방법이다.



 


종이로 클라인 병을 접는 방법 

빨강을 윗면, 파랑을 아랫면으로 하는 색종이가 있다. 이 종이의 양 끝 모서리 A를 같은 방향으로 맞붙인 후, 양 끝 모서리 B를 반대 방향으로 맞붙인다. 바로 이때 만들어지는 도형을 「클라인 병(Klein Bottle)」이라고 한다.





 그런데, 머릿속으로 잘 그려지지 않는다.





단계별로 접어보자!!

1단계. 모서리 A를 같은 방향으로 맞붙이면? 원기둥이 된다.




 2단계. 원기둥 상태에서 B를 반대 방향으로 맞붙이면?



첫째, B를 같은 방향으로 맞붙이면 ‘토러스(torus)’라고 부르는 도넛 형태가 만들어진다. 




 둘째, B를 반대 방향으로 맞붙이면 드디어 ‘클라인 병(Klein Bottle)’이 만들어진다.


 B를 반대 방향으로 맞붙이면 ‘클라인 병’의 형태가 만들어진다는 것에 대한 이해가 쉽지 않을 것이다. 양 끝의 원형 모서리가 서로 반대 방향으로 맞붙이기 위해서는 한쪽의 원형 모서리를 뒤집어서 붙여야 하는데, 이것이 가능하기 위해서는 면을 뚫고 나와야 하기 때문이다. 따라서 ‘클라인 병’은 3차원 현실 공간에서 존재할 수 없다!



 클라인 병, 너는 대체 누구니?


생성과정에서 볼 수 있듯이, 클라인 병은 안쪽 면(파랑)이 뒤집혀서 바깥 면(빨강)과 만난다. 즉, 이 도형은 내부와 외부의 구분이 없다. 따라서 이 도형이 제대로 만들어질 수 있는 차원의 공간에서는 물을 부으면, 다시 물이 흘러서 나온다.




 


사실, ‘클라인 병’은 3차원 공간에서 존재하는 ‘뫼비우스의 띠’ 2개를 서로 맞붙여도 만들어 낼 수 있다. 하지만 이 경우에도 2개의 뫼비우스를 맞붙이려면, ‘띠가 자신의 표면을 뚫고 나오는’, 3차원에서 인지할 수 없는 방향이 여전히 필요하다.


 



만약, 클라인 병의 제4방향을 우리가 찾아낸다면? 

클라인 병 입구로 들어간 개미가 한 마리 있다고 생각하자. 이때 들어간 통로의 길을 틀어막으면 이 개미는 갇혀있을까? 3차원 공간에서는 당연히 그러하겠지만, 클라인 병에서는 3차원에서 인지할 수 없는 제 4의 방향으로 다시 빠져나올 수 있다. 즉, 닫힌 문을 열지 않고 벽을 통과하는 길이 존재할 수 있다. 따라서 이 방향의 길만 우리가 찾아낼 수 있다면?



“이 공간에서는 내부와 외부를 넘나들 수 있기에, 개복 없이도 인체 내의 수술이 가능하다!!” 



이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치한 PC에서 작동이 가능하다.


바로가기
 종이를 접는 방향에 따른 입체도형 실험
클라인 병(Klein Bottle)의 생성과정 실험
클라인 병과 뫼비우스 띠와의 관계 실험


0 댓글2
추천콘텐츠
댓글 2개
댓글 쓰기

차원이 다른 곳을 넘나들수 있다면 정말 우리가 할 수 있는 것들이 너무나 많아지지 않을까 싶은 생각이 듭니다. 수술도 그렇지만 공사도 그렇고 실험도 많은 부분에서 큰 도움을 받을 수 있지 않을가 싶습니다.

2020.12.25

좋아요~

2020.12.23
TOP으로 이동