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3색 벽돌쌓기, 마지막 색상은?
조회 305 2021.01.18 신고

똑같은 문제를 누군가는 기발한 방법으로 풀어낸다. 독일의 수학자 가우스(1777~1855)는 어릴 적, 1부터 100까지의 합을 아래와 같이 기발한 방법으로 계산했던 일화로 유명하다.


가우스 ⓒ Public domain (Wikimedia commons)

 

그럼, 이제 여러분들이 기발한 방법으로 풀어볼 ‘3색 벽돌쌓기’ 문제를 소개한다. 


3색 벽돌쌓기, 마지막 색상은?


 

바닥에 세 가지 색상(빨강, 파랑, 노랑)의 벽돌 n개가 놓여있다. 그리고 그 위에는 벽돌이 서로 겹치도록 n-1, n-2, …, 3, 2, 1개를 쌓아 올리는데, 벽돌의 색상에 대한 규칙은 다음과 같다.


⑴ 이웃한 두 벽돌의 색상이 같으면, 그 위에는 같은 색상의 벽돌을 쌓는다..
⑵ 이웃한 두 벽돌의 색상이 다르면, 그 위에는 나머지 다른 색상의 벽돌을 쌓는다.

.

이처럼 계속하여 벽돌을 쌓아 올릴 때, 마지막 벽돌의 색상은 무엇일까?




퍼즐의 규칙을 이해하였다면,
아래와 같이 바닥에 n=28개의 벽돌이 주어진 ‘3색 벽돌쌓기’마지막 색상을 구해보자!!


“설마, 이걸 다 해보라는 거야?”




정답 : 파랑

“헉~ 진짜 다 해본 거야?”



이제부터는 기발한 방법으로 이 문제를 풀어보자!!



규칙의 발견 

3색 벽돌쌓기’ 문제의 핵심은 n=4개로 주어진 벽돌의 규칙에 있다.

위에서 보는 바와 같이, n=4개로 주어진 벽돌쌓기 문제는 바닥의 양 끝에 놓여있는 벽돌의 색상을 계산한 결과가 최상단의 마지막 벽돌의 색상이 되는 규칙을 갖고 있다. 이에 대한 수학적 증명은 다음을 참고하자.


☞ 수학적 증명 살펴보기


규칙의 유연한 확장Ⅰ 

n=10개로 주어진 벽돌쌓기 문제는 아래 그림의 점선처럼, n=4개의 벽돌쌓기가 바닥에서부터 각 3개, 2개, 1개씩 반복하여 적용되는 확장된 형태를 가지고 있다.



따라서 n=10개로 주어진 벽돌쌓기 문제 역시 바닥의 양 끝에 놓여있는 벽돌의 색상을 계산한 결과가 최상단의 마지막 벽돌의 색상이 되는 규칙을 갖게 되며, 바닥 면의 양 끝인 빨강(R), 파랑(B)을 계산한 노랑(Y)이 마지막 벽돌의 색상이 된다. 실제, n=10개로 주어진 벽돌쌓기 문제의 결과를 보아도 성립함을 알 수 있다. 


규칙의 유연한 확장Ⅱ 

n=4=3¹+1개의 벽돌쌓기 규칙은 n=10=3²+1개에서 n=28=3³+1, n=82=3⁴+1, …, n=3ⁿ+1로 계속하여 확장할 수 있다. 바닥에 주어진 벽돌의 개수가 4개, 10개, 28개, 82개, …, 3ⁿ+1개면, 마지막 행의 벽돌 색상은 첫 행의 양 끝에 있는 벽돌의 색상을 계산한 결과가 된다. 실제, n=28개로 주어진 벽돌쌓기 문제의 결과를 보아도 성립함을 알 수 있다.



이처럼 원리를 발견하고 사고를 확장하여 복잡한 문제를 손쉽게 풀어내는 맛. 그것이 수학의 매력 아닐까? 





이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치한 PC에서 작동이 가능하다.



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3색 벽돌쌓기 : n=4개의 규칙에 대한 증명
3색 벽돌쌓기 : 임의의 n 값과 색상에 대한 실험

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댓글 1개
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정말 관점을 어떻게 가지고 가느냐가 중요한 거 같습니다. 간단한 계산임에도 불구하고 어떻게 생각하느냐가 정말 엄청난 결과를 만들어 내는데 이런 것을 잘하는 사람들이 남다른 것을 만들어 내는 거 같습니다. 알고보면 간단한데 처음에 알아내는게 쉽지 않으니 노력으로 극복이 될 수 있으면 좋겠는데요.^^

2021.01.20
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