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우리가 사는 공간이 「뫼비우스의 띠」라면?
조회 219 2021.02.22 신고


한 번쯤은 들어보거나 만들어봤을 법한 「뫼비우스의 띠」는 1858년 뫼비우스(August Ferdinand Mobius)가 발견한 도형으로, 직사각형 모양의 종이를 길게 잘라서 양 끝을 한번 꼬아 맞붙이면 뫼비우스의 띠가 완성된다. 


다음은 앞면이 빨강, 뒷면이 파랑으로 이루어진 색종이를 가지고 뫼비우스의 띠를 만드는 모습이다. 색종이의 양 끝을 같은 방향으로 맞붙이면 원기둥이 만들어지지만, 반대 방향으로 맞붙이면 뫼비우스의 띠가 만들어진다.






이렇게 만들어진 뫼비우스의 띠에는 독특한 성질이 있다. 바로 ‘안쪽’과 ‘바깥쪽’의 구별이 없이 경계를 단 하나만 가지고 있다는 점이다. 실제 아래의 그림에서도 앞면(빨강)과 뒷면(파랑)이 하나의 면으로 서로 연결되어 있음을 알 수 있다.





뫼비우스의 공간에서는 무슨 일이 벌어질까? 


뫼비우스 공간상에 오른손을 올려놓고, 뫼비우스의 길을 따라 한 바퀴 돌아서 제자리로 온 나의 손은 오른손에서 왼손으로 바뀐다.





우리가 사는 세상이 뫼비우스의 공간이라면?


“이 세상을 한 바퀴 돌아올 때 나의 오른쪽과 왼쪽이 서로 바뀌는 반전이 일어난다.” 



정말 그럴까 싶으면? 직접 만들어 실험해보는 것도 흥미롭다. 투명한 OHP 필름으로 뫼비우스의 띠를 만든 후, 그 위에 그림을 그려놓고 한쪽 면을 따라서 한 바퀴 돌면 그림의 형태가 뒤집혀서 반전되어 있음을 확인할 수 있다.




이러한 현상은 뫼비우스의 띠가 ‘안쪽’과 ‘바깥쪽’의 구별이 없이 경계를 단 하나만 가지고 있다는 성질로 인하여 발생 되는 것이다.




뫼비우스의 띠, 어느 곳에 쓰임새가 있을까?




벨트


뫼비우스의 띠가 처음 발명품으로 쓰인 것은 1923년 미국에서 특허를 받은 양쪽 면에 소리를 녹음할 수 있는 뫼비우스의 띠 테이프였다. 안과 밖의 구별되지 않아 보통의 테이프보다 배 많은 시간 동안 소리를 담을 수 있다. 1949년 ‘오웬 해리스’는 공업용 기계에 쓰이는 마찰 벨트를 발명했다. 보통의 벨트는 한쪽 면만 사용하지만, 뫼비우스의 띠로 만든 벨트는 양쪽 면을 사용해 효율이 2배로 높았다. 이처럼 뫼비우스의 띠가 갖는 성질은 발명에서 중요한 아이디어로 쓰여 이를 활용한 특허만도 수백 건이 넘는다.




건축물 & 로고


뫼비우스의 띠는 앞면과 뒷면이 끝없이 하나로 연결된 곡면의 성질과 그 형태가 무한대(∞)를 상징한다. ‘뫼비우스 계단’은 사람들이 한 칸씩 오르고 내리면서 끝없이 반복됨을 느낄 수 있게 해주는 무한한 계단을 연출하였고, 가천대학교는 개교 80주년을 기념하여 미래의 무한발전을 기원하는 조형물을 잔디광장에 설치하였다. 이외에도 ‘자원의 재활용’에 대한 로고 역시 유한한 자원의 재활용을 통한 무한한 순환을 의미하는 로고로 사용하는 등 뫼비우스는 보이는 모습 그 이상의 상징적인 의미가 있다.







이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치한 PC에서 작동이 가능하다.


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종이를 접는 방향에 따른 입체도형 실험
뫼비우스 띠의 성질 : 손의 반전에 대한 실험

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댓글 1개
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뫼비우스의 띠는 처음에 보고는 별개 아니라고 생각을 했었는데 실제로는 정말 대단한 것의 발견이었던 거 같습니다. 우리가 살고 있는 세상이 이런 무한의 연속이 아닌가 싶은 생각도 들게하고 입력과 출력이 하나로 연결이 되어 있어서 서로 서로 영향을 주니 하나만 생각을 할 수 도 업속 참 대단한 발견이 아닌가 싶습니다.

2021.02.22
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