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원주율을 구하는 색다른 방법 “다트게임”
조회 323 2021.03.29 신고


원주율을 계산하는 방법은 원시적인 측정 방법, 전통적인 계산 방법, 그리고 슈퍼컴퓨터를 활용한 현대적인 방법 등 무수히 많은 방법이 알려져 있다.



이 중 원주율을 계산하는 색다른 방법으로, “다트게임”을 통하여 확률적으로 원주율 π=3.141592… 값을 구하는 과정을 소개하고자 한다.




가장 먼저, 한 변의 길이가 2인 정사각형에 반지름이 1인 원이 내접하도록 그린다.




바로 이 정사각형 안으로 임의의 다트를 아래의 조건에 따라 n개 던진다. 




1. 다트는 무조건 정사각형 내에 들어간다.
2. 다트는 의도하지 않은 무작위 시행이다. 




이 경우, 원의 내부에 들어간 다트의 개수를 r개 라고 하면 다음의 확률적인 관계가 성립한다.




   다트가 원의 내부에 들어갈 확률(r/n) ≒ 원의 넓이(π) ÷ 정사각형의 넓이(4)
⇔ 원의 넓이(π) ≒ 정사각형의 넓이(4) × 다트가 원의 내부에 들어갈 확률(r/n)




                             
참고) 반지름이 r인 원의 넓이는 πr2이므로, 위 조건의 원의 넓이는 π이다.
         한 변의 길이가 a인 정사각형의 넓이는 a2이므로, 위 조건의 정사각형의 넓이는 4이다.






실험⑴ : n=100개의 다트를 던진 경우




n=100개의 다트를 던지는 실험으로 계산된 원주율(π)의 근삿값은 2.92~3.28로 실제의 값과 다소의 차이를 보인다. 그러나 시행의 횟수(n)가 커질수록 이 값은 점차 원주율(π=3.141592…)의 값에 상당히 가까워질 것이다.







실험⑵ : n=10,000개의 다트를 던진 경우




n=10,000개의 다트를 던지는 실험으로 계산된 원주율(π)의 근삿값은 3.1312~3.1472로 n=100개의 다트를 던져 계산된 결과보다 더욱 원주율(π=3.141592…)의 값에 가까워졌음을 알 수 있다.











실험⑶ : n=1,000,000개의 다트를 던진 경우



n=1,000,000개의 다트를 던지는 실험으로 계산된 원주율(π)의 근삿값은 3.14058~3.14268로 앞선 실험의 계산된 결과보다 훨씬 더 원주율(π=3.141592…)의 값에 가까워졌다. 이처럼 던지는 다트의 개수가 많아질수록 더욱 정확한 원주율을 계산할 수 있다. ■




참고로 원주율의 값을 이보다 더욱 정확하고 빠르게 구하는 대표적인 방법은 아래와 같다.




   
1. 원주율을 계산하는 고전적인 방법



2. 슈퍼컴퓨터로 원주율을 계산하는 방법









이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치한 PC에서 작동이 가능하다.





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다트게임을 이용한 원주율 계산 실험해보기



0 댓글1
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댓글 1개
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원주율을 저런 방식으로 구할 수 있다니 정말 신기하네요. 고전 방법이 되었던지 현재 방법이 되었던지 그 시기에 맞는 최선의 방법으로 구하는 게 좋은 거 같습니다. 시뮬레이션을 통하니 훨씬 재미있네요.

2021.03.30
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