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원주율을 계산하는 세상에서 가장 위대한 방법
조회 228 2021.04.07 신고

이천년이 넘는 수학의 역사 속에서 밝혀진 원주율(π≒3.141592…)을 계산하는 수많은 방법 중 가장 위대한 방법은 무엇일까? 적지 않은 수학·과학자들은 「물체의 충돌모델」에서 계산된 원주율을 최고로 꼽는다. 







충돌모델에서 발견한 원주율


질량이 1kg과 10²ⁿkg인 두 물체 A, B가 있다. 

한쪽을 벽면으로 하는 일직선상에서 B가 A와 에너지 소실이 없는 완전탄성충돌을 하게 되면, A가 벽면 또는 B와 충돌하는 총 횟수는 원주율의 숫자 배열 n+1 자리까지 일치한다!! 

(단, 공기저항이나 마찰, 충돌 시 발생하는 소리 등과 같은 외부요인은 고려하지 않는다.)  








※ 완전탄성충돌이란?


두 물체가 충돌할 때 충돌 전의 운동에너지의 합과 충돌 후의 운동에너지의 합이 보존되는 충돌을 완전탄성충돌이라고 한다. 예로, 두 물체의 질량을 m₁, m₂라고 하고, 충돌 전 두 물체의 속도를 v 과 v , 충돌 후 두 물체의 속도를 v₁'과 v₂'라고 할 때, 운동량 보존법칙에 의해 다음 식이 성립한다.


   m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'


그리고 충돌 전과 후의 각각의 물체의 운동에너지가 같아야 한다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

   ½m1v12 + ½m2v22 = ½m1v1'2 + ½m2v2'2

  

두 물체의 질량 m 과 m₂ 및 처음 속도 v₁과 v₂를 알고 있을 때, 위 두 식을 연립하면 충돌 후 각각의 물체 속도 v₁'과 v₂'를 알아낼 수 있다.







본 상황에 대한 이해를 위해 단계별로 실험을 해보자.






실험⑴ : n=0 인 경우      


운동량·운동에너지 보존법칙에 따라 계산해보면 B는 A와 충돌하면서 자신의 모든 운동에너지를 A에 전달하므로 B는 정지 상태가 된다. 이후, 벽면에 부딪힌 A 역시 B와 충돌하면서 같은 이유로 A는 정지한다. 이 과정에서 A가 벽면 또는 B와 충돌하는 총 횟수는 원주율의 숫자 배열 n+1=0+1=1자리와 일치한다!! 원주율(π≒3.141592…)의 1번째까지 숫자 배열의 값은 3이므로, A의 충돌횟수는 3번이다.









실험⑵ : n=1 인 경우      


운동량·운동에너지 보존법칙에 따라 계산해보면 B는 A와 충돌하면서 자신의 운동에너지 일부가 A에 전달되어 A, B는 벽면 쪽으로 같이 움직인다. 이후, 벽면에 부딪힌 A는 B와 여러 번 충돌하면서 운동에너지를 주고받게 된다. 이 과정에서 A가 벽면 또는 B와 충돌하는 총 횟수는 원주율의 숫자 배열 n+1=1+1=2자리와 일치한다!! 원주율(π≒3.141592…)의 2번째까지 숫자 배열의 값은 3.1이므로, A의 충돌횟수는 31번이다.









물체가 충돌하는 과정이 순식간에 지나가 버리기에 느린 화면으로 재생속도를 조절해보았다. 






시간의 흐름에 따른 두 물체의 위치를 그래프로 그려서 물체 A가 충돌하는 횟수(31번)를 살펴보자. 




⑴ A와 B의 충돌 순간 : 빨간색 그래프(물체 A)가 파란색 그래프(물체 B)와 만나는 교점의 개수


⑵ A와 벽면의 충돌 순간 : 빨간색 그래프(물체 A)가 회색 가로축(벽면)과 만나는 교점의 개수 








위의 그래프를 따라, 빨간색 그래프(물체 A)가 파랑색 그래프(물체 B) 및 회색 가로축(벽면)과 만나는 교점의 개수를 세어보면 31개임을 알 수 있다. 바로 이 값이 A가 벽면 또는 B와 충돌하는 총 횟수이다.


이와 같이, 물체 B의 질량 10²ⁿkg을 n=1,2,3,4,… 와 같이 키우면, A의 충돌횟수는 원주율의 숫자 배열과 일치하는 규칙을 보인다.








실험⑶ : n=4 인 경우      


운동량·운동에너지 보존법칙에 따라 계산해보면 A가 벽면 또는 B와 충돌하는 총 횟수는 원주율의 숫자 배열 n+1=4+1=5자리와 일치한다!! 원주율(π≒3.141592…)의 5번째까지 숫자 배열의 값은 3.1415이므로, A의 충돌횟수는 31,415번이다.







이 경우, A가 B와 충돌하는 대부분 순간은 물체가 벽면과 거의 밀착되는 상황에서 엄청난 진동상태를 보이며 이루어진다. 이 상황은 빨간색 그래프(물체 A)가 파란색 그래프(물체 B) 및 회색 가로축(벽면)과 만나는 교점의 개수가 31,415개임을 의미한다. 특히, 벽면에 초근접한 상태에서의 교점들을 관찰해보고자 그래프를 확대해 보면, 거의 모든 교점(충돌)들이 벽면 근방에서 이루어지고 있음을 알 수 있다.






원주율을 계산하는 이 엄청난 방법은 ‘3Blue1Brown’ 이라는 유튜브 채널에서 이 문제를 소개하고 이에 대한 수학적 원리를 보여주며 세계적으로 신선한 탐구의 즐거움을 주었다. 당시, 시청자들은 저자에게 ‘이 방법은 세상에서 가장 비효율적이나 가장 위대한 원주율의 계산방법’이라는 찬사를 보내주었다.


⑴ 3Blue1Brown : 충돌모델과 원주율 소개(YouTube)

⑵ 3Blue1Brown : 충돌모델과 원주율 증명(YouTube)









이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치한 PC에서 작동이 가능하다.


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완전탄성충돌 모델에서의 원주율 계산 실험해보기


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댓글 1개
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정말 재미있고 신기한 실험 좋네요. 특히나 시뮬레이션을 통해서 뭔가 할 수 있는 것들이 있으니 너무 좋네요.

2021.04.08
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