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[심화문제] 흰 바둑알과 검은 바둑알의 자리를 바꾸려면 최소한 몇 번 옮겨야 할까?
조회 178 2021.04.12 신고

바둑알 옮기기 문제가 있다.


바둑알과 검은 바둑알의 자리를 바꾸려면 최소한 몇 번 옮겨야 할까?


이때 제시된 문제는 흰 바둑알 3개와 검은 바둑알 3개의 자리를 바꾸려면 최소한 몇 번을 옮겨야 하는지 알아보는 퍼즐이었다.




이 문제를 확장해, 만약 흰 바둑알과 검은 바둑알이 각각 10개씩 있다면, 최소 이동 횟수*는 몇 번일까? 그리고 더 나아가 바둑알을 뛰어넘은 횟수는 얼마나 될까?

*이동 횟수란 바둑알이 한 번 움직이거나 뛰어넘은 횟수이다.





흰 바둑알과 검은 바둑알이 각각 세 개씩 있는 경우도 최소 이동 횟수가 15번이었다. 그러므로 바둑알이 각각 10개씩 있는 경우를 실제 해보는 방식으로 해결하기는 어렵다. 이런 문제는 규칙을 찾아 해결하면 된다. 바둑알이 1개인 경우, 2개인 경우, 3개인 경우를 보고 규칙을 찾아보자.


   




1. 바둑알이 각각 한 개씩 있는 경우 



1단계  흰 바둑알이 왼쪽으로 한 칸 움직임


2단계  검은 바둑알이 오른쪽으로 뛰어넘음


3단계  흰 바둑알이 왼쪽으로 한 칸 움직임


결과: 최소 이동 횟수 3회, 뛰어넘는 횟수 1회






2. 바둑알이 각각 두 개씩 있는 경우




1단계  흰 바둑알이 왼쪽으로 한 칸 움직임,

이때 가장 오른쪽의 흰 바둑알이 뛰어넘기로 이동할 경우 검은 바둑알이 움직일 수 없으므로 앞쪽 흰 바둑알을 먼저 움직여야 한다.



2단계  검은 바둑알이 오른쪽으로 뛰어넘음




3단계  검은 바둑알이 오른쪽으로 한 칸 움직임



4단계  흰 바둑알이 왼쪽으로 뛰어넘음




5단계  흰 바둑알이 왼쪽으로 뛰어넘음




6단계  검은 바둑알이 오른쪽으로 한 칸 움직임




7단계  검은 바둑알이 오른쪽으로 뛰어넘음




8단계  흰 바둑알이 왼쪽으로 한 칸 움직임




결과: 최소 이동 횟수 8회, 뛰어 넘는 횟수 4회







3. 바둑알이 각각 세 개씩 있는 경우





1단계  검은 바둑알이 오른쪽으로 한 칸 움직임




2단계  흰 바둑알이 왼쪽으로 뛰어넘음




3단계  흰 바둑알이 왼쪽으로 한 칸 움직임




4단계  검은 바둑알이 오른쪽으로 뛰어넘음




5단계  검은 바둑알이 오른쪽으로 뛰어넘음





6단계  검은 바둑알이 오른쪽으로 한 칸 움직임




7단계  흰 바둑알이 왼쪽으로 뛰어넘음




8단계   흰 바둑알이 왼쪽으로 뛰어넘음




9단계  흰 바둑알이 왼쪽으로 뛰어넘음



10단계  검은 바둑알이 오른쪽으로 한 칸 움직임





11단계  검은 바둑알이 오른쪽으로 뛰어넘음



12단계  검은 바둑알이 오른쪽으로 뛰어넘음




13단계  흰 바둑알이 왼쪽으로 한 칸 움직임





14단계  흰 바둑알이 왼쪽으로 뛰어넘음



15단계  검은 바둑알이 오른쪽으로 한 칸 움직임




결과: 최소 이동 횟수 15회, 뛰어 넘는 횟수 9회






이 내용에서 규칙을 찾아 보면



1개씩일 때
최소 이동 횟수는 1+1+(1×1) 뛰어넘은 횟수는 1×1


2개씩일 때
최소 이동 횟수는 2+2+(2×2) 뛰어넘은 횟수는 2×2


3개씩일 때
최소 이동 횟수는 3+3+(3×3) 뛰어넘은 횟수는 3×3


이므로, 이를 통해 바둑알이 n개씩 일 때 n+n+(n×n) / n×n 이라는 규칙이 있음을 확인할 수 있다.



지금까지의 규칙을 표로 정리해서 알아보자.





따라서 바둑알이 각각 열 개씩 있는 경우는 최소 이동 횟수는 120회, 뛰어 넘는 횟수는 100회이다.


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