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부활의 수, 6174를 아시나요?
조회 342 2021.04.29 신고



인도의 수학자 ‘카프리카(1905~1986)’는 숫자에 대하여 특이한 계산규칙을 발견한 것으로 유명하다. 그가 살던 마을의 기찻길에는 「3025(km)」라고 쓰인 표지판이 놓여있었다. 어느 날, 이 표지판이 넘어지면서 둘로 쪼개졌는데 정확히 30과 25의 사이를 갈랐다고 한다. 이것을 본 카프리카는 「30+25=55」이고 「55²=3025」 라는 계산으로 처음의 숫자 「3025」를 다시 만들었다. 이처럼 카프리카는 계산규칙을 통하여 특정한 수를 부활시켜내는 기발한 방법을 소개하였다.







두 자리 부활의 수


두 자릿수(예:73)에 대하여, 아래와 같은 카프리카의 규칙을 몇 번 반복하면 항상 「9」에 도달한다.

단, 두 자릿수가 모두 같은 경우(예:22)는 제외한다.


실제, 두 자릿수에 대해서 모두 확인해보면 성립함을 알 수 있다!!


두 자릿수의 카프리카 계산은 모두 10번 이하의 반복계산 과정에서 「9」로 도달한다. 사람들은 이 부활의 수 「9」를 ‘카프리카 상수’라고 부른다.








세 자리 부활의 수


세 자릿수(예:486)에 대하여, 카프리카의 규칙을 몇 번 반복하면 항상 「495」에 도달한다.

단, 세 자릿수가 모두 같은 경우(예:222)는 제외한다.



실제, 세 자릿수에 대해서 확인해보면 성립함을 알 수 있다!!



세 자릿수의 카프리카 계산은 모두 10번 이하의 반복계산 과정에서 「495」로 도달하며, 이 부활의 수 「495」가 세 자릿수에 대한 ‘카프리카 상수’이다.








네 자리 부활의 수


네 자릿수(예:2021)에 대하여, 카프리카의 규칙을 몇 번 반복하면 항상 「6174」에 도달한다.

단, 네 자릿수가 모두 같은 경우(예:2222)는 제외한다.



실제, 네 자릿수에 대해서 확인해보면 성립함을 알 수 있다!!



네 자릿수의 카프리카 계산은 모두 10번 이하의 반복계산 과정에서 「6174」로 도달하며, 이 부활의 수 「6174」가 네 자릿수에 대한 ‘카프리카 상수’이다.








그 이상의 자릿수에서도 카프리카 상수가 만들어질까?



다섯 자릿수부터는 유일한 ‘카프리카 상수’가 나타나지 않는다. 하지만, 몇 개의 계산 결과가 주기성을 가지며 반복적으로 나타나는 규칙성은 여전히 존재한다.





‘카프리카 상수’의 이런 현상은 수학적으로 의미가 있는 것인지, 아니면 우연한 계산의 발견인지는 명확하지 않다. 하지만 이 부활의 수에 매료되어 밴드의 이름을 ‘Kaprekar’s Constant’라고 지어 활동하는 음악인도 있다.



https://www.youtube.com/watch?v=IRj_YgrDrVw

(영상 출처) Kaprekar’s Constant 유튜브





【참고】 부활의 수 9, 495, 6174가 만들어지는 이유는 수학적인 증명으로 설명이 가능하다. 다만, 다양한 경우의 수를 고려한 복합한 계산이 필요함에 관련된 「웹페이지」 소개로 대신한다. 





   

이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치한 PC에서 작동이 가능하다.


바로가기

○ 네 자리 카프리카 상수 6174 에 대한 트리구조
○ 카프리카 상수 찾기 실험(다양한 자릿수와 진법 탐색)




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